Logarithmen: Definition

4^x = 64; x = ?

Wenn 4^x = 64 gilt, welchen Wert hat x? Anders formuliert: Mit welchem Exponenten x muss man die Basis 4 potenzieren um 64 zu erhalten?

In diesem einfachen Fall ist die Antwort offensichtlich x = 3, denn 4³ = 64.

Man sagt der Exponent 3 sei der Logarithmus zur Basis 4 von 64 und schreibt log₄ 64 = 3

Allgemeine Definition

Sei die Basis a eine beliebige positive reelle Zahl, ungleich der Eins: Dann ist jede positive reelle Zahl b als b = a^x darstellbar.

Der Exponent x wird Logarithmus von b zur Basis a genannt und mit log_a b bezeichnet.

Als Formel

In Kürze

Der Logarithmus von b zur Basis a ist derjenige Exponent, mit dem ich die Basis a potenzieren muss um die Zahl b zu erhalten.

Wichtig: Die Voraussetzungen a und b positiv (und a ungleich Eins) nicht vergessen.

Einfache Beispiele

Zur Einübung der Definition berechnen wir einige Logarithmen im Kopf – ohne Taschenrechner und andere Hilfsmittel.

Es ist immer wieder die Frage: mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren um den Wert der Potenz zu erhalten?

Spezielle Logarithmen

Für die Logarithmen zu den Basen 10, 2 und e (e = Eulersche Zahl) gibt es spezielle Bezeichnungen.

natürlicher Logarithmus ln

der Logarithmus zur Basis e, der Eulerschen Zahl 2,7182818284590452 …

Dekadischer- oder Zehner-Logarithmus lg

der Logarithmus zur Basis 10.

Dualer- oder Zweier-Logarithmus ld

der Logarithmus zur Basis 2.