Lineare Gleichungssysteme: Anzahl der Lösungen

Was können wir ohne zu rechnen über die Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems sagen?

Nähern wir uns der Antwort auf diese Fragen anhand von Beispielen.

Beispiel: Fehlende Unabhängigkeit

Welche Wertepaare (x, y) erfüllen die beiden Gleichungen

FORMEL

Lösung: Die erste Gleichung ist bereits nach y aufgelöst. Einsetzen in die zweite Gleichung liefert

FORMEL

Wohl wahr – und nun?

Was will uns 2 x = 2 x sagen?

Nun, diese Gleichung ist für alle Werte von x erfüllt, nicht nur für einen speziellen.

Um diese Vielfalt in der Lösung zum Ausdruck zu bringen setzen wir

FORMEL

mit dem freien Parameter s. Für s darf man beliebige Werte einsetzen.

Und dann weiter, als wäre nichts geschehen (ist es ja auch nicht), das heißt als hätten wir einen festen Wert statt eines freien Parameters erhalten. Also setzen wir die für x gefundene Lösung in eine der beiden Gleichungen, wir wählen die erste, ein und erhalten

FORMEL

Fertig! Alle Paare (x, y) der Form (s, 3 – s) mit beliebig wählbaren s erfüllen das Gleichungssystem.

Das System hat nicht 1, nicht 2, nicht 3 – es hat unendlich viele Lösungen .

Die Ursache für die Vielzahl ist, dass beide Gleichungen dasselbe fordern, nicht unabhängig voneinander sind. Wir haben also eigentlich nur eine Gleichung.

Beispiel: Innere Widersprüche

Welche Wertepaare (x, y) erfüllen die beiden Gleichungen

FORMEL

Lösung: Auflösen der zweiten Gleichung nach y und Einsetzen in die erste Gleichung liefert

FORMEL

Sicher falsch – und nun?

Was will uns 3 = 1 sagen?

Nun, diese Gleichung ist für keinen Wert von x erfüllt. Die Unbekannte x kommt gar nicht mehr vor.

Das wars bereits. Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Die Ursache für die Unlösbarkeit ist, dass sich die beiden Gleichungen widersprechen und deshalb nicht gemeinsam erfüllt werden können.

Lösungen: Was ist möglich?

Wir haben in den bisherigen Beispielen lineare 2 x 2 Systeme gesehen, die 0, 1 oder unendliche viele Lösungen besaßen. Die Mathematiker aus der Abteilung Lineare Algebra sagen uns, dass es für lineare Gleichungssysteme keine anderen Fälle gibt. Auch nicht für den allgemeinen Fall von m Gleichungen mit n Unbekannten.

Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme

Ein allgemeines lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten hat

Diese Aussage gilt nur für lineare Gleichungssysteme. Ein Beispiel für ein nichtlineares Gleichungssystem mit 2 Lösungen haben wir ja bereits gesehen.

Lösungen: Was ist normal?

Wir haben jetzt geklärt, was überhaupt möglich ist. Eine andere Frage ist, was ist normal, was haben wir für ein typisches lineares Gleichungssytem zu erwarten.

Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten hat typischerweise (die Gleichungen sind unabhängig und widerspruchsfrei) für

m > n
keine Lösung
m = n
genau eine Lösung
m < n
unendliche viele Lösungen, genauer: eine Schar von Lösungen mit (m – n) freien Parametern

Präzises liefert die bereits erwähnte Lineare Algebra unter dem Stichwort Rang einer linearen Abbildung (bzw. der sie darstellenden Matrix).

Für uns ist einstweilen nur folgendes

Merkenswert: Wenn das lineare Gleichungssystem nicht als reine Rechenübung vom mathematischen Himmel fällt, sondern aus einer physikalischen, biologischen, … Fragestellung resultiert, dann sollten wir uns im anormalen Fall immer fragen: was ist die physikalische, biologische, … Ursache für die untypische Lösungsmenge?