Zu 1 Gleichung mit 1 Variablen wissen wir alles für den Anfang Nötige.
Wenden wir uns also Systemen von 2 Gleichungen mit 2 Variablen zu, den 2 x 2 Systemen. Wir fragen nach deren Lösungen, das heißt wir suchen nach allen Wertepaaren der beiden Variablen, die sowohl die eine als auch die andere Gleichung erfüllen.
Beachte: Wir beschränken uns wieder auf Gleichungen mit reellen Koeffizienten und suchen nur nach reellen Lösungen. Am Lösungsverfahren ändert sich aber nichts, wenn wir für Koeffizienten und Lösungen auch komplexe Zahlen zulassen.
Welche Wertepaare (x, y) erfüllen die beiden Gleichungen
Lösung:
Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt das eine Gleichung mit der einen Unbekannten x
mit der Lösung x = 1.
Fehlt noch der Wert von y. Dazu setzen wir den bereits gefundenen Wert von x in eine der beiden Gleichungen ein, zum Beispiel in die zweite, und erhalten wieder eine Gleichung mit einer Unbekannten
also y = 2.
Damit haben wir das lineare Gleichungssystem gelöst: das Paar (x, y) = (1, 2) ist die einzige Lösung.
Die Grundidee des Lösungsverfahrens war die Reduktion auf Gleichungen mit einer Unbekannten nach dem Schema:
Das Verfahren lässt sich natürlich auch mit vertauschten Rollen von x und y spielen: Nichts spricht dagegen, im ersten Schritt eine der beiden Gleichungen nach x aufzulösen. Alles hängt allein davon ab, was einem einfacher erscheint.
Das erste Beispiel war besonders einfach, da linear: die beiden Unbekannten kamen nur in der ersten Potenz vor. Das Verfahren der Reduktion auf 2 Gleichungen, in denen nur noch jeweils eine der Unbekannten vorkommt ist aber auch auf nichtlineare Gleichungssysteme anwendbar.
Welche Wertepaare (x, y) erfüllen die beiden Gleichungen
Lösung:
Auflösen der ersten, linearen Gleichung nach y liefert
Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt das eine Gleichung mit der einen Unbekannten x
Diese quadratische Gleichung bringen wir wie üblich auf Normalform
und bestimmen die Lösung mit der pq–Formel:
Die zugehörigen y-Werte erhalten wir am Einfachsten durch Einsetzen in die erste Gleichung zu y1 = 4 und y2 = 7
Damit haben wir das Gleichungssystem gelöst: die Paare (1, 4) und (8, 7) sind die beiden Lösungen.
Im weiteren werden wir uns auf lineare Gleichungssysteme beschränken.