Im nächsten Beispiel lernen wir eine neue Methode kennen, um Ungleichungen zu lösen: Malen.
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Ungleichung
Betrachten Sie statt der Ungleichung die entsprechende Gleichung.
Fassen Sie diese als Gleichung zur Bestimmung der Nullstellen einer Parabel auf.
Skizzieren Sie eine Parabel und überlegen sich, wie Sie aus deren Nullstellen die
Lösung der Ungleichung ablesen können.
die wir als quadratische Gleichung erkennen und mit der pq–Formel lösen:
Auf Normalform bringen
p = –8 und q = 7 ablesen und in die pq-Formel einsetzen
oder irgendeine aus dem Handgelenk skizzierte Parabel, die ebenfalls
Wir sehen
Damit haben wir als Lösungsmenge der Ungleichung bestimmt:
Wieder einmal haben wir gesehen, dass Erst malen, dann rechnen eine nützliche Strategie ist.
Im zuletzt betrachteten Beispiel der quadratischen Ungleichung ersparte diese Strategie uns eine rein rechnerische Lösung mit Fallunterscheidung. Unerschrockene dürfen sich aber gerne an der rein rechnerischen Lösung versuchen. Gehen tut es schon auch.
Sinnvoller ist es aber, sich die bereits behandelten Ungleichungen noch einmal vorzunehmen.
Überlegen Sie sich, warum es im Fall einer Bruchungleichung nicht reicht, nur die Nullstellen des Funktionsgraphen zu betrachten.
Die zugehörige Funktion hat Polstellen (Nullstellen des Nenners) und auch an diesen, nicht nur an den Nullstellen, kann der Graph der Funktion das Vorzeichen wechseln. Alles, was zum Vorzeichenwechsel führen kann (Nullstellen, Pole, Sprünge), muss beachtet werden.