Ungleichungen: Mal mal wieder

Im nächsten Beispiel lernen wir eine neue Methode kennen, um Ungleichungen zu lösen: Malen.

Quadratische Ungleichung:

Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Ungleichung

FORMEL

Betrachten Sie statt der Ungleichung die entsprechende Gleichung.
Fassen Sie diese als Gleichung zur Bestimmung der Nullstellen einer Parabel auf. Skizzieren Sie eine Parabel und überlegen sich, wie Sie aus deren Nullstellen die Lösung der Ungleichung ablesen können.

Lösung:

Grundmenge bestimmen
Der Ordnung halber sei vermerkt: Die Terme sind für alle x definiert, die Grundmenge sind die reellen Zahlen.
Lösen der entsprechenden Gleichung
Wir betrachten die zugehörige Gleichung

FORMEL

die wir als quadratische Gleichung erkennen und mit der pq–Formel lösen:

Auf Normalform bringen

FORMEL

p = –8 und q = 7 ablesen und in die pq-Formel einsetzen

FORMEL

Ablesen der Lösungsmenge der Ungleichung an einer Skizze
Jetzt erinnern wir uns an die geometrische Interpretation quadratischer Gleichungen und betrachten vor unserem geistigen Auge den Graphen der quadratischen Funktion

FORMEL

oder irgendeine aus dem Handgelenk skizzierte Parabel, die ebenfalls

  • zwei Nullstellen hat
  • nach oben geöffnet ist

Wir sehen

Lösungen der quadratischen Gleichung
entsprechen, wie uns bereits bekannt, den Nullstellen der zugehörigen Parabel.
Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung
entspricht dem Intervall, in dem die Parabel oberhalb (wegen des Richtungssinns der zu lösenden Ungleichung) der x–Achse liegt.

Damit haben wir als Lösungsmenge der Ungleichung bestimmt:

FORMEL

Abschließende Bemerkungen

Wieder einmal haben wir gesehen, dass Erst malen, dann rechnen eine nützliche Strategie ist.

Im zuletzt betrachteten Beispiel der quadratischen Ungleichung ersparte diese Strategie uns eine rein rechnerische Lösung mit Fallunterscheidung. Unerschrockene dürfen sich aber gerne an der rein rechnerischen Lösung versuchen. Gehen tut es schon auch.

Sinnvoller ist es aber, sich die bereits behandelten Ungleichungen noch einmal vorzunehmen.

Leicht
Lösen Sie die lineare Ungleichung mit der neuen Methode Skizze statt Fallunterscheidung .
Lehrreich
Lösen Sie die Bruchungleichung mit der neuen Methode Skizze statt Fallunterscheidung .

Überlegen Sie sich, warum es im Fall einer Bruchungleichung nicht reicht, nur die Nullstellen des Funktionsgraphen zu betrachten.

Die zugehörige Funktion hat Polstellen (Nullstellen des Nenners) und auch an diesen, nicht nur an den Nullstellen, kann der Graph der Funktion das Vorzeichen wechseln. Alles, was zum Vorzeichenwechsel führen kann (Nullstellen, Pole, Sprünge), muss beachtet werden.