Lineare Gleichungssysteme: Von Geraden und Schnittpunkten

Für den Fall 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten können wir uns ein lineares Gleichungssystem und seine Lösungen leicht geometrisch veranschaulichen. Wir wählen ein Koordinatensystem und übersetzen die Formeln in Bilder (die Algebra in Geometrie)

Variablen x, y

Punkte der Ebene mit den Koordinaten (x, y)

Lineare Gleichung in x und y

Gerade in der Ebene: genau die Punkte mit den Koordinaten (x, y), die die lineare Gleichung erfüllen, liegen auf der Geraden

System zweier linearer Gleichungen in x und y

Zwei Geraden in der Ebene

Lösungen des Gleichungssystems

Schnittpunkt(e) der beiden Geraden

Stellen wir unsere drei Beispiele graphisch dar.

Wir erkennen, was möglich ist

Geraden parallel

Kein Schnittpunkt, keine Lösung

Geraden schneiden sich in einem Punkt

Ein Schnittpunkt, eine Lösung

Geraden liegen aufeinander

Alle Punkte der Geraden sind Schnitttpunkte, unendliche viele Lösungen

Wir erkennen, was normal ist

Typisch

Wenn ich zwei Geraden einfach irgendwie hinmale, haben sie genau einen Schnittpunkt.

Untypisch

In den beiden anderen Fällen, parallel oder deckungsgleich, muss ich mir Mühe geben, weil sie so speziell sind – und die kleinste Abweichung bringt sie wieder in die typische Lage.

Wir erkennen, dass für nichtlineare Gleichungen vieles anders ist Wenn ich statt zweier Geraden auch zwei Krakel malen kann, können diese 2, 3, viele isolierte Schnittpunkte haben.