Die mit der pq–Formel lösbaren quadratische Gleichungen sind mit das Beste was einem unterkommen kann.
Glücklicherweise können auch Wurzelgleichungen (die gesuchte Größe steht auch unter der Wurzel) oder Bruchgleichungen (die gesuchte Größe steht auch im Nenner) beim Umschreiben quasi automatisch auf quadratische Gleichungen führen.
Auf jeden Fall lohnt es sich, auch bei anderen Gleichungen zu prüfen, ob diese sich durch Einführen einer neuen Variablen (durch eine Substitution) in eine quadratische Gleichung überführen lassen.
Substitution ist ein allgemeines Prinzip hinter dem die Hoffnung steht, das etwas in einer neuen Variablen besser aussieht. Für die geeignete Wahl einer neuen Variablen gibt es aber kein Rezept, nur Übung hilft. Leider.
Das Standardbeispiel in dem diese Strategie erfolgreich ist sind biquadratische Gleichungen.
Beispiel: Biquadratische Gleichung mit vier Lösungen
Wir suchen alle reellen Lösungen der Gleichung.
Das ist eine Gleichung vierten Grades mit der Besonderheit, das nur gerade Potenzen von x vorkommen.
Deshalb führen wir eine neue Variable
ein.
Wir ersetzen (substituieren) x in der Gleichung durch u, und erhalten
eine quadratische Gleichung in der neuen Variable u.
Wir suchen alle positiven reellen Lösungen diese Gleichung. Uns interessieren nur positive Lösungen, da die Variable u als Quadrat von x nur positive Werte annimmt.
Die pq–Formel liefert mit p = –13, q = 36
Nun interessiert uns nicht u sondern x, das heißt die Lösungen der Ausgangsgleichung. Wegen u = x2 erhalten wir die vier Lösungen
Wir suchen alle reellen Lösungen der Gleichung.
Das ist eine Gleichung vierten Grades mit der Besonderheit, das nur gerade Potenzen von x vorkommen.
Deshalb führen wir eine neue Variable
ein.
Wir ersetzen (substituieren) x in der Gleichung durch u, und erhalten
eine quadratische Gleichung in der neuen Variable u.
Wir suchen alle positiven reellen Lösungen diese Gleichung. Uns interessieren nur positive Lösungen, da die Variable u als Quadrat von x nur positive Werte annimmt.
Um die pq–Formel anwenden zu können, dividieren wir durch den Vorfaktor 2 des quadratischen Terms
lesen p = –4, q = –12 ab und erhalten aus der pq–Formel (wenn wir beiu den Vorzeichen aufpassen)
Da wir nur nach positiven Lösungen der Gleichung suchen, fällt die zweite Lösung weg und es bleibt nur u1 = 6 übrig. Daraus erhalten wir als die beiden einzigen Lösungen der Ausgangsgleichung
Substitution ist nicht auf biquadratische Gleichung beschränkt, sie kann auch in anderen Fällen zum Erfolg führen. Man muss halt eine gute Idee haben, den Schwachpunkt der Gleichung erkennen.
Beispiel: Eine nicht ganz so offensichtliche Substitution
Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung
In der Gleichung kommt die Unbekannte nur in der Form 2x vor, die wir deshalb als neue Variable einführen
Wir ersetzen (substituieren) x in der Gleichung durch u, und erhalten die Gleichung
deren positive Lösungen wir suchen (u = 2x ist immer positiv).
Multiplikation beider Seiten mit u (erlaubt, da u positiv, also insbesondere nicht Null ist) liefert eine qudaratische Gleichung in u
Umstellen auf Normalform, ablesen von p = –2 und q = –3 lieferta die Lösungen
Die zweite Lösung fällt weg, aus der ersten ergibt sich durch Rücksubstitution die Lösung
