Gleichungen: Bruchgleichungen

Quadratische Gleichungen sind der Idealfall: sie lassen sich immer mit der pq–Formel lösen. Leider sind sie auch der Ausnahmefall: Für die meisten anderen Gleichungstypen gibt es nämlich keinen Lösungsweg, der immer sicher zum Ziel, das heißt zur Lösungsmenge, führt.

Das gilt auch für Gleichungen bei denen die gesuchte Größe (auch) im Nenner vorkommt. Was wir immerhin noch angeben können ist eine erfolgsversprechende Vorgehensweise (best practice), wie Sie diese sogenannten Bruchgleichungen angehen können (nicht müssen):

Grundmenge bestimmen
Menge der überhaupt zugelassenen Werte, die Grundmenge der Gleichung, bestimmen. Lästig, aber wichtig.
Nenner zur variablenfreien Zone erklären
Gesuchte Größe aus dem Nenner wegschaffen. Dort stört sie nur.
Schauen und Hoffen
Schauen, ob / wie es weitergeht. Vielleicht haben wir ja eine quadratische Gleichung erhalten.

Betrachten wir ein einfaches Beispiel.

Beispiel

Gesucht sind alle reellen Lösungen der Gleichung

FORMEL

Als Aufgabe betrachten wir noch ein zweites Beispiel, das insbesondere die Bedeutung des ersten Schrittes, Bestimmung der Grundmenge, verdeutlicht. Das ist nämlich keine reine Pflichtübung um mäkelige Mathematiker zufriedenzustellen.

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung

FORMEL

Gehen Sie wie im Beispiel vor und vergessen nicht, die Grundmenge ernstzunehmen.

Lösung: