Quadratische Gleichungen sind der Idealfall: sie lassen sich immer mit der pq–Formel lösen. Leider sind sie auch der Ausnahmefall: Für die meisten anderen Gleichungstypen gibt es nämlich keinen Lösungsweg, der immer sicher zum Ziel, das heißt zur Lösungsmenge, führt.
Das gilt auch für Gleichungen bei denen die gesuchte Größe (auch) im Nenner vorkommt. Was wir immerhin noch angeben können ist eine erfolgsversprechende Vorgehensweise (best practice), wie Sie diese sogenannten Bruchgleichungen angehen können (nicht müssen):
Betrachten wir ein einfaches Beispiel.
Gesucht sind alle reellen Lösungen der Gleichung
Für die gesuchte Größe x müssen wir also von Anfang an die Werte 1 und –1 ausschließen. Die Grundmenge D der Gleichung ist
Im weiteren ist x immer aus dieser Grundmenge.
und addieren die Brüche (Zur Erinnerung: den Hauptnenner aller Brüche bestimmen, jeden einzelnen Bruch auf den Hauptnenner erweitern.)
Beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren (das dürfen wir, da der Hauptnenner auf dem Grundmenge von Null verschieden ist!) liefert
In diesem Fall sehen wir, das nur noch eine quadratische Gleichung zu lösen ist, wobei wir aber nicht an beliebigen Lösungen interessiert sind, sondern nur an solchen aus der Grundmenge D.
Lösen der quadratischen Gleichung indem man sie (durch Ausmultiplizieren und Ordnen nach den Potenzen von x) auf Normalform bringt
p = –5 und q = 6 abliest und in die pq-Formel einsetzt
Sowohl 2 als auch 3 liegen in der Grundmenge, und sind somit auch Lösungen der Bruchgleichung.
Als Aufgabe betrachten wir noch ein zweites Beispiel, das insbesondere die Bedeutung des ersten Schrittes, Bestimmung der Grundmenge, verdeutlicht. Das ist nämlich keine reine Pflichtübung um mäkelige Mathematiker zufriedenzustellen.
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
Gehen Sie wie im Beispiel vor und vergessen nicht, die Grundmenge ernstzunehmen.
Für die gesuchte Größe x müssen wir also von Anfang an die Werte 2 und –3 ausschließen. Die Grundmenge D der Gleichung ist
Im weiteren ist x immer aus dieser Grundmenge.
und addieren die Brüche (Zur Erinnerung: den Hauptnenner aller Brüche bestimmen, jeden einzelnen Bruch auf den Hauptnenner erweitern.)
Beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren (das dürfen wir, da der Hauptnenner auf dem Grundmenge von Null verschieden ist!) liefert
In diesem Fall sehen wir, das nur noch eine quadratische Gleichung zu lösen ist, wobei wir aber nicht an beliebigen reellen Lösungen interessiert sind, sondern nur an solchen aus der Grundmenge D.
Ausmultiplizieren und Ordnen nach den Potenzen von x liefert die besonders einfache quadratische Gleichung
deren Lösungen x1 = 2 und x2 = –2 wir direkt ablesen.
Die erste Lösung der quadratischen Gleichung liegt aber nicht in der Grundmenge, ist also keine Lösung der Ausgangsgleichung. Bleibt als einzige Lösung x = 2.