Vorbereitende Themen

Zunächst reden wir zwar über Mathematik, aber noch nicht über die Analysis mehrerer Variablen. Diese vorbereitenden Abschnitte sind zum Einen wegen der Inhalte (Vektorraum und alles was daran hängt), zum Anderen wegen der abstrakten Denkweise (abweichend von der aus der Schule gewohnten) wichtig.

Es folgt eine kurze Vorschau auf die drei vorbereitenden Themen.

Worte und Formeln: Von Kreisen und Taxifahrern
Warum viele Worte verlieren, wir haben doch die Formeln? Am harmlos daherkommenden Beispiel des Kreises überlegen wir, wann es sinnvoll ist, einen Blick auf die Begriffe hinter den Formeln zu werfen.
Die halbe Miete: Vektoren und Vektorräume
Differenzieren bedeutet Linearisieren. Deshalb spielen die linearen(!) Vektorräume in der Analysis eine große Rolle. Wir erklären Begriffe und Sichtweisen bereits auf der Ebene der Vektorräume und profitieren von den gewonnenen Erkenntnissen in der Analysis.
Inhalte
  • Vektor und Vektorraum
  • Basis und Koordinaten-Tupel
  • Euklidischer Vektorraum und Skalarprodukt
  • Dualraum und ko- und kontravariante Vektoren
  • Volumen und Orientierung
Denkwürdiges
  • Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums, kein Pfeil.
  • Ein Geschwindigkeitsvektor ist kein Zahlentripel.
  • Ein Vektor hat keinen Betrag — es sei denn, eine euklidische Struktur ist ausgezeichnet.
  • Mathematiker und Physiker meinen dasselbe, drücken es aber anders aus. Was dem einen seine (euklidische) Struktur auf dem Vektorraum ist, drückt der andere durch (orthogonale) Transformationen der Koordinaten-Tupel aus.
Da steckt Physik drin: Raum und Zeit und Raumzeit
Die Ausführungen zum Thema Raumzeit werden nicht für die Analysis benötigt. Sie sollen aber zeigen, dass die bei den Vektorräumen eingeführten Denkweisen auch in der Physik nützlich sind — und verwendet werden.
Inhalte
  • Raum und Zeit bei Galileo und Newton
  • Raumzeit in Einsteins spezieller Relativitätstheorie
Typische Fragen

In der Mechanik ist ein Ereignis etwas, das ein Beobachter durch die Angabe von Ort und Zeit — hier und jetzt oder dort und dann — in seinem Koordinatensystem eindeutig festlegen kann.
Beantworten alle Beobachter (in ihren jeweiligen Koordinatensystemen) die folgenden Fragen gleich?

  1. Finden zwei Ereignisse am selben Ort statt?
  2. Finden zwei Ereignisse zur selben Zeit statt?

Oder hängt die Antwort vom Beobachter, also nicht nur von den physikalischen Ereignissen selbst ab?

Fallen die Antworten in der Newtonschen Mechanik — mit der ihr zugrundeliegenden Vorstellung über Raum und Zeit — anders aus als in der speziellen Relativitätstheorie?