Von Kreisen und Taxifahrern

Überlegen wir uns zunächst, was ein Kreis in der Ebene ist.

Definition mit Worten

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte der Ebene, deren Abstand von einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene, dem Mittelpunkt des Kreises, konstant ist. Der konstante Abstand der Kreispunkte vom Mittelpunkt wird als Radius des Kreises bezeichnet.

Darstellung mit Formeln

Wir wählen ein kartesisches Koordinatensystem, dessen Ursprung im Kreismittelpunkt liegt. Bezüglich dieses Koordinatensystems wird jeder Punkt der Ebene durch ein geordnetes Zahlenpaar, seine Koordinaten, dargestellt.

Die Koordinaten der Punkte des Kreises müssen eine Gleichung erfüllen, die mithilfe des Satzes von Pythagoras schnell hergeleitet ist:

\[ K_{r} = \{(x,y) \in R^2: x^2 + y^2 =r^2 \} \]

Diese Vorgehensweise ist das erfolgreiche Schema der analytischen Geometrie: Durch die Einführung eines Koordinatensystems werden geometrische Objekte durch Gleichungen beschrieben — und damit geometrische Aufgaben zu Rechenaufgaben.

Berechnen mit Formeln

Die Darstellung mit Formeln ist das Mittel der Wahl, um konkrete Aufgaben zu lösen.

So führt die Aufgabe, die Schnittpunkte eines Kreises mit einer Geraden zu bestimmen, direkt auf ein System von zwei Gleichungen — die Schnittpunkte müssen sowohl auf dem Kreis als auch auf der Geraden liegen, ihre Koordinaten also beide Gleichungen erfüllen — in zwei Unbekannten — den Koordinaten der Schnittpunkte. Dieses Gleichungssystem ist dann — zum Beispiel mit der, nicht auf lineare Gleichungssysteme beschränkten, Substitutionsmethode — zu lösen.

Verstehen mit Worten

Bleibt die Frage: Was nützen die Worte? Die Definition des Kreises mit Worten ist

einfach

Sie kommt ohne ein Koordinatensystem aus. Mit diesen Worten können Sie jedem allgemeinverständlich erklären, was ein Kreis ist.

klar

Sie zeigt, dass der Begriff des Kreises auf dem Abstandsbegriff aufbaut: ohne Abstand kein Kreis. Damit ist nicht etwa gemeint, dass Sie erst den Wert des Radius vorgeben müssen, um einen konkreten Kreis zu definieren. Es geht vielmehr darum, dass Sie den Abstandsbegriff benötigen, um überhaupt von Kreisen reden zu können.

allgemein

Sie spricht ganz allgemein vom Abstand, nicht speziell von dem aus dem Schulunterricht bekannten Standard-Abstand. Das ist bemerkenswert, da es auch andere (physikalisch) sinnvolle Abstandsbegriffe gibt — die Minkowski-Metrik ist ein lehrreiches Beispiel, auf das wir im Kapitel Raum und Zeit und Raumzeit zurückkommen werden.
Für die formelmäßige Darstellung des Kreises haben wir dagegen, ohne weiter nachzudenken, den Standard-Abstandsbegriff verwendet: Abstand zweier Punkte gleich Länge der Verbindungsgeraden (Luftlinie) zwischen den beiden Punkten.

Die Eingangsfrage: das Runde und das Eckige

Kehren wir mit den gewonnenen Erkenntnissen über die Rolle des Abstandsbegriffs (mathematisch gesprochen: der Metrik) zurück zur Eingangsfrage. Das auf der Spitze stehende Quadrat im rechten Teilbild ist sicher kein Kreis bezüglich des gewohnten Abstandsbegriffs. Aber vielleicht bezüglich eines anderen Abstandsbegriffs, einer anderen Metrik? Und vielleicht ist diese Metrik sogar in der Praxis sinnvoll anwendbar?

Zwei suggestive Fragen — zwei positive Antworten.

Taxifahrer-Metrik

Das auf der Spitze stehende Quadrat im rechten Teilbild ist ebenfalls ein Kreis, aber bezüglich der so genannten Taxifahrer-Metrik: der Taxifahrer-Abstand des Punktes mit den Koordinaten \((x,y)\) vom Ursprung \((0,0)\) ist definiert als die Summe der Beträge der Koordinaten: \(\vert{x}\vert + \vert{y}\vert\).
Diese Summe ist für alle Randpunkte des Quadrates gleich, wovon Sie sich bei eingeblendetem Raster durch schlichtes Nachzählen überzeugen können.

Raster einblenden Ausgewählte Punkte einblenden

Praxisbezug

Wenn Sie mit dem Taxi von einem Ort zu einem anderen kommen wollen, ist die Fahrstrecke nicht durch den normalen Abstand (Länge der Luftlinie zwischen den beiden Orten) gegeben. Der Taxifahrer muss sich — anders als der Held im Actionfilm — an das Straßennetz halten. In einer auf dem Reißbrett geplanten Stadt, deren Straßen alle in Nord-Süd oder Ost-West Richtung verlaufen, ist der das Straßennetz berücksichtigende Abstand zwischen zwei Punkten gerade durch die Taxifahrer-Metrik gegeben.

Auch wenn Sie nicht mit dem Taxi durch Manhattan, Mannheim eine oder andere auf dem Reißbrett geplante Stadt fahren wollen, sollte klar geworden sein, dass es unterschiedliche, in der Praxis sinnvolle Abstandsbegriffe gibt.