Ansichtssache

Eigentlich sind wir fertig — wäre da nicht die Vorliebe der Physiker, die zum Rechnen so praktischen Koordinaten in den Vordergrund zu rücken. Deshalb müssen wir noch eine zweite, gleichwertige Sicht auf Vektoren kennenlernen. Fassen wir zunächst unser bisheriges Vorgehen noch einmal zusammen.

Mathematiker-Sicht: Vektoren als Elemente eines Vektorraums

In dieser zugegebenermaßen abstrakten Sichtweise steht am Anfang ein Vektorraum \(V\) mit seiner linearen Struktur. Alles Andere folgt daraus: die Darstellung der Vektoren durch Koordinaten-Tupeln im \(R^n\) und deren Transformationsverhalten beim Wechsel der Basis in \(V\):

Startpunkt: Ein Vektorraum \(V\) mit seiner linearen Struktur

Vektoren sind Elemente des Vektorraums. Lineare Struktur meint, mit den bekannten Rechenregeln Vielfache und Summen von Vektoren bilden zu können.

Basen von \(V\)

Durch die lineare Struktur sind die Basen ausgezeichnet: jeder Vektor kann eindeutig als lineare Kombination von Elementen einer Basen geschrieben werden. Es gibt viele gleichberechtigte Basen, die explizite Wahl einer Basis ist willkürlich.

Darstellung durch Koordinaten-Tupel im \(R^n\)

Relativ zu einer Basis kann man jeden Vektor eindeutig durch sein Koordinaten-Tupel im \(R^n\) beschreiben; umgekehrt lässt sich aus einem Koordinaten-Tupel und der Basis der Vektor rekonstruieren. Das Berechnen von Vielfachen und Summen von Vektoren kann — wie gewohnt — mit den Koordinaten-Tupeln erfolgen.

Transformation der Koordinaten-Tupel im \(R^n\)

Bei einem Wechsel der Basis in \(V\) transformieren sich die Koordinaten-Tupel im \(R^n\) gegenläufig.

Physiker-Sicht: Vektoren als Koordinaten-Tupel mit charakteristischem Transformationsverhalten

Physiker zäumen — aus der Mathematiker-Sicht — das Pferd von hinten auf, und stellen die Koordinaten-Tupel und ihr Transformationsverhalten an den Anfang.

Starten

mit Zahlen-Tupeln im \(R^n\).

Wissen,

dass ein solches Zahlen-Tupel immer relativ zu einer Basis zu verstehen ist.

Fordern,

dass sich die Zahlen-Tupel beim Wechsel der Basis gegenläufig transformationen: wenn die Basistransformation durch die invertierbare Matrix \(A\) beschrieben wird, dann transformieren sich die Koordinaten-Tupel mit der Matrix \((A^{-1})^{\text{T}}\)

In dieser Sicht sind Vektoren also Koordinaten-Tupel mit dem richtigen Transformationsverhalten.

Zwei Fragen für Verächter des Abstrakten: Wie gut hätten Sie die Physiker-Sicht verstanden, ohne sie vorher aus der abstrakten Sicht hergeleitet zu haben? Wären Sie von der Physiker-Sicht ausgehend auf die Mathematiker-Sicht gekommen? Ich frag ja nur …

Mit welchem Auge sieht man besser?

Schauen wir uns an, worin sich die beiden Sichtweisen unterscheiden.

Erste Sichtweise: Vektoren als Elemente eines Vektorraums

• Klare explizite Unterscheidung von Vektoren in \(V\) und ihrer Darstellung durch Zahlen-Tupel im \(R^n\).
• Startet mit basisunabhängigen ‑ geometrischen, absoluten ‑ Größen. Kann später eine Basis einführen.

Zweite Sichtweise: Vektoren als Koordinaten-Tupel mit charakteristischem Transformationsverhalten

• Nur implizite Trennung zwischen Vektoren und ihrer Darstellung durch Koordinaten-Tupel. Vektoren kommen explizit gar nicht vor.
• Startet mit Koordinaten-Tupeln relativ zu einer willkürlichen Basis. Diese Willkür muss im zweiten Schritt über das Transformationsverhalten wieder herausgeworfen werden. Nur was alle Transformationen überlebt, ist eine willkürfreie, gute, Größe.

In der ersten Sichtweise müssen wir also nicht mehr selber das Wesentliche vom Willkürlichen trennen. Das Abstrahieren vom Irrelevanten ist bereits erledigt. Es treten nur Größen auf, die unabhängig von einer Basis sind ‑ zumindest so lange, bis wir durch die bewusst Wahl einer Basis zur Darstellung durch Koordinaten-Tupel übergehen. Diese abstrakte Sichtweise ist ‑ wie bereits bei der Taxifahrermetrik gesehen ‑ immer dann gut, wenn es um das Erkennen von Zusammenhängen, um das Verstehen, geht. Wenn man etwas berechnen muss ‑ und schon weiß, dass es eine sinnvolle Größe ist ‑ schlägt die Stunde der Koordinaten.

Ist die erste Sichtweise wirklich nur eine mathematische? Oder nicht eigentlich auch eine physikalische? Wenn wir einmal versuchsweise Basis durch Beobachter ersetzen, dann geht es um die Unterscheidung von Größen, die unabhängig von einem Beobachter sind und solchen, die vom Beobachter abhängen. Fragen dieser Art interessieren aber den Physiker: Hat die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse eine vom Beobachter unabhängige absolute Bedeutung? Oder ist sie nur relativ zu einem Beobachter sinnvoll und können sich zwei Beobachter nicht darüber einigen, ob zwei Ereignisse gleichzeitig stattgefunden haben?

Wir sollten deshalb besser von der modernen und der alten Sichtweise reden. Die moderne Sichtweise finden wir eher in fortgeschrittenen Mathematikbüchern, die alte ist in den Physikbüchern für die ersten Semester gut vertreten. Womit die Mathematiker und Physiker dann doch wieder untergebracht wären.

Mit welchem Auge sieht man also besser? Mit beiden Augen zusammen! Soll heißen, es ist gut, beide Sichtweisen zu kennen. Und wir werden bei Euklidischen Räumen, der Raumzeit-Geometrie, der Tensorrechnung und letztendlich der Analysis auch beide Sichtweisen nutzen.