Der Vollständigkeit halber sei noch an je einem Beispiel vorgeführt, wie die Definition des Integrals auf die Fälle ausgeweitet wird, in denen
Man spricht in beiden Fällen von uneigentlichen Integralen und definiert sie als Grenzwert von “normalen” Integralen.
Wir halten uns erst einmal von der kritischen Stelle fern, indem wir als untere Integrationsgrenze u statt 0 wählen.
Dieses (normale) Integral berechnen wir mithilfe einer Stammfunktion
und bilden dann den Grenzwert für u gegen 0.
Die letzte Gleichheit gilt, da s kleiner 1 ist, also (1 - s) größer 0.
Ist der Flächeninhalt überhaupt endlich?
Vielleicht schon: die Höhe der Fläche wird ja für große Werte von x sehr schnell fast Null . Wir haben also eine “Sehr viel von fast Nichts” Situation. Bei solchen Fragen hilft nur eins: Wir werden rechnen müssen.
Wir ersetzen die “kritische” unendliche obere Integrationsgrenze durch einen endlichen Wert, nennen wir ihn a.
Dieses (normale) Integral berechnen wir mithilfe einer Stammfunktion
Im letzten Schritt lassen wir die obere Integrationsgrenze gegen unendlich gehen.
Fassen wir das Ergebnis in der geometrischen Einkleidung zusammen:
Der Flächeninhalt der unendlich langen Fläche zwischen dem Graphen der
Funktion und der positiven x-Achse ist gleich dem des Quadrats mit der
Seitenlänge 1.