Wir haben beim Integrieren zwei grundlegende Begriffe verwendet:
Über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wird der Zusammenhang zwischen Integral und Stammfunktion hergestellt.
Was braucht man mehr? Nichts!
Aber Sie werden in Lehrbüchern und Tabellenwerken (oder wo auch immer Sie nachschlagen) noch zwei weitere Begriffe finden, die es einzuordnen gilt, um diese Informationsquellen nutzen zu können:
Sie haben feste Integrationsgrenzen und liefern eine Zahl als Wert.
Wenn Sie eine Stammfunktion suchen, und eine Tabelle unbestimmter Integrale zur Hand haben, können Sie dort nachschlagen. Misstrauische prüfen durch Differenzieren – so ist die Stammfunktion ja definiert.
für die Stammfunktion F von f (ohne Integrationsgrenzen!).
Ob das unbestimmte Integral für irgendeine oder – besser – die Klasse aller Stammfunktionen einer Funktion f steht, hängt vom Autor ab (in schlechteren Fällen auch von dessen Tagesform).
Steht sie für irgendeine Stammfunktion, muss man mit Gleichungen(?) der Art
leben.
Kurz, über die Sinnhaftigkeit des Begriffs – und der intuitiven Schreibweise als Integral ohne Grenzen – lässt sich trefflich streiten – oder eben nicht.