Differenzierbarkeit in einem Punkt

Definition Differenzierbarkeit in einem Punkt

Eine Funktion f heißt an einer Stelle x₀ ihres Definitionsbereichs differenzierbar, wenn der Grenzwert

existiert.

Diesen Grenzwert nennt man die Ableitung der Funktion f an der Stelle x₀.

Führt man

ein, erhält die Definition die nicht nur für Physiker sehr suggestive Form

Physikalische Interpretation: Änderungsrate

Bewegt sich ein Punkt auf einer Geraden und hat er zur Zeit t die Strecke s(t) zurückgelegt, so beträgt seine

Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall

Momentangeschwindigkeit zu einem Zeitpunkt

als Grenzwert der Durchschnittsgeschwindigkeiten für immer kleinere Zeitintervalle.

Allgemein berechnet man die momentane Änderungsrate einer zeitabhängigen Größe als Grenzwert der durchschnittlichen Änderung in immer kleineren Zeitintervallen.