Die Differentialrechnung untersucht, wie sich Funktionswerte differenzierbarer Funktionen ändern und liefert Methoden zur Berechnung der Änderungsraten .
Änderungsraten zeit- oder ortsabhängiger Größen sind etwas, für das sich Physiker interessieren.
Beispiele:
Bleibt zu klären: Was sind differenzierbare Funktionen ? Wie kann ich feststellen, ob eine Funktion in einem Punkt differenzierbar ist?
Eine Funktion ist in einem Punkt differenzierbar, wenn man sie in der Umgebung dieses Punktes durch eine lineare Abbildung gut approximieren kann.
Die so jedem Punkt zugeordnete lineare Abbildung ist das Differenzial (die Ableitung) der Funktion in diesem Punkt.
Heißt was? Zeichne den Graphen der Funktion, hole das große Mikroskop heraus und betrachte den Graphen in der Nähe des zu untersuchenden Punktes. Wenn er bei genügend hoher Vergrößerung (und entsprechend kleinem Ausschnitt / Gesichtsfeld) linear (also wie eine Gerade) aussieht, dann ist die Funktion in diesem Punkt differenzierbar.
Die Abbildung zeigt
Wer sich unter der approximierenden Geraden einfach die Tangente an den Graphen in dem Punkt vorstellt, liegt natürlich richtig.
Funktionen mit einem Knick, wie zum Beispiel die Betragsfunktion, sind also im Knickpunkt nicht differenzierbar : der Knick geht auch bei noch so starker Vergrößerung nicht weg. Da wird nichts gerade.
Zugegeben, diese Methode ist nicht sonderlich praxistauglich. Zumal man meistens auch in einem Rutsch feststellen möchte, ob eine Funktion an jeder Stelle differenzierbar ist.
Der Griff zum Mikroskop ist also sicher nicht die Antwort auf die Frage wie berechne ich die Ableitung, hilft aber zu verstehen, was man denn da berechnet. Kleiner Ausblick gefällig?
Damit ist klar, dass die Ableitung (das Differenzial) einer Funktion von Rn nach R^m in einem Punkt durch eine Matrix beschrieben wird, die sogenannte Jacobi-Matrix.
Denn: die Ableitung der Funktion in einem Punkt ist eine lineare Abbildung, wird also bezüglich zweier Basen durch eine Matrix dargestellt.