Funktionen: Definitionsbereich

Zur Erinnerung: die Defintion einer Funktion besteht aus zwei Bestandteilen:

Zuordnungsvorschrift
Die Formel zur Berechnung des Funktionswertes.
Definitionsbereich
Die Festlegung, welche Werte ich für die unabhängige Variable in der Zuordnungsvorschrift einsetzen darf.

Was sind typische Definitionsbereiche?

Zusammenhängende
Allgemeine Intervalle mit und ohne Randpunkte, wie zum Beispiel
Löchrige
Neben diesen zusammenhängenden Intervallen treten auch Definitionsbereiche mit „Löchern“ auf (als Vereinigung solcher Intervalle).

Wer braucht den Definitionsbereich?

Klar, die notorisch peniblen Mathematiker. Aber reicht für uns Praktiker nicht bereits die Zuordnungsvorschrift, die Vorschrift zur Berechnung der Funktionswerte?

Meistens schon, aber halt nicht immer. Wie sieht es zum Beispiel mit der Antwort auf die folgende Frage aus?

Frage:

Ist die Funktion f(x) = x2 monoton wachsend? Ist sie umkehrbar? Ist die Frage sinnvoll?
Kann sie ohne Kenntnis des Definitionsbereiches beantwortet werden?
Malen (des Graphen der Funktion) hilft.

Antwort:

Die Frage ist ohne Angabe eines Definitionsbereiches nicht zu beantworten! Das zeigt ein (kurzer oder längerer) Blick auf die Graphen der beiden Funktionen (gleiche Zuordnungsvorschrift, unterschiedliche Definitionsbereiche)

FORMEL

bzw.

FORMEL

FORMEL

Es sind – trotz gleicher Zuordnungsvorschrift – zwei verschiedene Funktionen, sie haben unterschiedliche Eigenschaften: Nur die Funktion mit dem auf positive x-Werte beschränkten Definitionsbereich ist monoton wachsend und umkehrbar.

Für die Eigenschaften einer Funktion (ist sie monoton wachsend, existiert eine Umkehrfunktion, …) spielt also neben der Zuordungsvorschrift auch der Definitionsbereich eine wichtige Rolle. Insbesondere bei der Frage nach der Umkehrfunktion (Wurzel, Arkusfunktionen) darf man – auch als Nichtmathematiker – nicht ungestraft (zu) großzügig über diese vermeintliche „Spitzfindigkeit“ hinweggehen.

Warum wird der Definitionsbereichs trotzdem oft nicht angegeben?

Oft wird, insbesondere von Nichtmathematikern, bei der Definition einer Funktion die Angabe des Definitionsbereichs weggelassen und nur die Zuordnungsvorschrift hingeschrieben.

Diese Nachlässigkeit sei dem Autor erlaubt. Als gutartige Leser unterstellen wir in diesen Fällen, dass der Definitionsbereich

so groß wie mathematisch möglich
die Nenner sind von Null verschieden, Terme unter der Wurzel nicht negativ, …
und auf Grund der (physikalischen, geometrischen) Bedeutung der Variablen sinnvoll
steht eine Variable für eine Länge, so muss sie sicher positiv sein, …

ist.