Zur Erinnerung: die Defintion einer Funktion besteht aus zwei Bestandteilen:
Meistens schon, aber halt nicht immer. Wie sieht es zum Beispiel mit der Antwort auf die folgende Frage aus?
Ist die Funktion f(x) = x2 monoton wachsend? Ist sie umkehrbar?
Ist die Frage
sinnvoll?
Kann sie ohne Kenntnis des Definitionsbereiches beantwortet werden?
Malen (des Graphen der Funktion) hilft.
bzw.
Es sind – trotz gleicher Zuordnungsvorschrift – zwei verschiedene Funktionen, sie haben unterschiedliche Eigenschaften: Nur die Funktion mit dem auf positive x-Werte beschränkten Definitionsbereich ist monoton wachsend und umkehrbar.
Für die Eigenschaften einer Funktion (ist sie monoton wachsend, existiert eine Umkehrfunktion, …) spielt also neben der Zuordungsvorschrift auch der Definitionsbereich eine wichtige Rolle. Insbesondere bei der Frage nach der Umkehrfunktion (Wurzel, Arkusfunktionen) darf man – auch als Nichtmathematiker – nicht ungestraft (zu) großzügig über diese vermeintliche „Spitzfindigkeit“ hinweggehen.
Diese Nachlässigkeit sei dem Autor erlaubt. Als gutartige Leser unterstellen wir in diesen Fällen, dass der Definitionsbereich
ist.