Für den Umgang mit Logarithmen gelten die sogenannten Logarithmengesetze.
Sei a eine positive reelle Zahl ungleich der Null. Für den Logarithmus zur Basis a gelten die beiden Rechenregeln
Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.
Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmen der Basis der Potenz.
Mehr als diese beiden Regeln muss man sich nicht merken. Alle anderen schlägt man bei Bedarf nach oder leitet sie sich schnell her.
Den Logarithmus der n-ten Wurzel ist gleich dem Logarithmus des Radikanten (das, was unter der Wurzel steht) dividiert durch den Wurzelexponenten n.
Wenig überraschend ist der Logarithmus eines Quotienten gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner
Um verschieden Logarithmen zusammenzufassen muss man die Regeln von rechts nach links lesen. Betrachten wir ein nicht zu einfaches Beispiel.
Fasse
zu einem Logarithmus zusammen.
Die Differenz zweier Logarithmen ist gleich dem Logarithmus des Quotienten, also
Im zweiten Schritt wurde die dritte binomische Formel verwendet.
Wendet man erst die binomische Formel an, ergibt sich als alternativer Lösungsweg:
Wie lässt sich der Logarithmus einer Summe umformen? Im Zweifelsfall gar nicht! Es gibt keine Regel für den Logarithmus einer Summe.
Insbesondere ist der Logarithmus einer Summe nicht die Summe der Logarithmen (die ist nämlich gleich dem Logarithmus des Produktes).
Man lässt den Logaritmus einer Summe also einfach so stehen oder versucht – wie im obigen Beispiel – die Summe als Produkt darzustellen . Die älteren unter uns erinnern sich: Umwandeln in ein Produkt ist genau die Vogehensweise beim Kürzen von Brüchen, in deren Zähler oder Nenner eine Summe steht.