Logarithmen: Rechenregeln

Für den Umgang mit Logarithmen gelten die sogenannten Logarithmengesetze.

Zwei merkenswerte Logarithmengesetze

Sei a eine positive reelle Zahl ungleich der Null. Für den Logarithmus zur Basis a gelten die beiden Rechenregeln

Logarithmus eines Produktes

FORMEL

Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

Logarithmus einer Potenz

FORMEL

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmen der Basis der Potenz.

Weitere Logarithmengesetze

Mehr als diese beiden Regeln muss man sich nicht merken. Alle anderen schlägt man bei Bedarf nach oder leitet sie sich schnell her.

Logarithmus einer Wurzel
Wir gehen, wie immer, von der Wurzelschreibweise zur Potenzschreibweise über und wenden das Gesetz für den Logarithmus einer Potenz an.

FORMEL

Den Logarithmus der n-ten Wurzel ist gleich dem Logarithmus des Radikanten (das, was unter der Wurzel steht) dividiert durch den Wurzelexponenten n.

Logarithmus eines Quotienten
Anwenden der beiden Regeln für den Logarithmus eines Produktes bzw. einer Potenz liefert

FORMEL

Wenig überraschend ist der Logarithmus eines Quotienten gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner

Zusammenfassen von Logarithmen

Um verschieden Logarithmen zusammenzufassen muss man die Regeln von rechts nach links lesen. Betrachten wir ein nicht zu einfaches Beispiel.

Beispiel

Fasse

FORMEL

zu einem Logarithmus zusammen.

Die Differenz zweier Logarithmen ist gleich dem Logarithmus des Quotienten, also

FORMEL

Im zweiten Schritt wurde die dritte binomische Formel verwendet.

Wendet man erst die binomische Formel an, ergibt sich als alternativer Lösungsweg:

FORMEL

Logarithmus von Summen – eine Warnung

Wie lässt sich der Logarithmus einer Summe umformen? Im Zweifelsfall gar nicht! Es gibt keine Regel für den Logarithmus einer Summe.

Insbesondere ist der Logarithmus einer Summe nicht die Summe der Logarithmen (die ist nämlich gleich dem Logarithmus des Produktes).

Man lässt den Logaritmus einer Summe also einfach so stehen oder versucht – wie im obigen Beispiel – die Summe als Produkt darzustellen . Die älteren unter uns erinnern sich: Umwandeln in ein Produkt ist genau die Vogehensweise beim Kürzen von Brüchen, in deren Zähler oder Nenner eine Summe steht.