Quadratische Gleichungen: Das Kochrezept

Das Schema zum Lösen quadratischer Gleichungen

  1. Erkennen, dass es eine quadratische Gleichung ist
  2. Auf die Normalform x2 + p x + q = 0 bringen
  3. Mit der pq–Formel lösen

wollen wir an einem (nicht zu) einfachen Beispiel durchführen.

Beispiel

Gesucht sind alle reellen Lösungen der Gleichung

FORMEL

Erkennen, dass es eine quadratische Gleichung ist
Die gesuchte Größe kommt nur in der ersten und zweiten Potenz vor (nicht in höheren Potenzen oder unter einer Wurzel oder im Nenner oder im Argument einer Winkelfunktion oder …)
Auf die Normalform x2 + p x + q = 0 bringen
Alles auf die linke Seite schaffen und nach den Potenzen von x ordnen.
3x2 + 4x + 1 2(x2 + x + 1) = 0
3x2 + 4x + 1 2x2 2x 2 = 0
x2 + 2x 1 = 0
Mit der pq–Formel lösen
Ablesen der Parameter p und q, berechnen der Diskriminante D:

p = Vorfaktor von x = 2
q = Term ohne x = – 1 (Vorzeichen!)

Daraus folgt D = 12 – ( – 1) = 2
Da die Diskrimante positiv ist, hat die Gleichung 2 reelle Lösungen.

Diese erhält man durch einsetzen in die pq-Formel zu

x1 = 1 + FORMEL
x2 = 1 FORMEL

Zum Lösen quadratischer Gleichungen braucht man keine gute Idee, Sturheit (netter: Konzentationsfähigkeit) genügt.

Was tun, wenn der Vorfaktor im quadratischen Term ungleich 1 ist?

Da die Division beider (!) Seiten einer Gleichung durch eine (von Null verschiedene) Zahl deren Lösungsmenge nicht ändert, dürfen Sie einfach durch den störenden Vorfaktor dividieren um auf die Normalform zu kommen. Aus

FORMEL

wird nach Division beider Seiten der Gleichung durch –2 (was die Lösungsmenge nicht ändert)

FORMEL

Wer nicht dividieren mag, kann auch in der Formelsammlung die für diesen allgemeineren Fall passende Formel nachschlagen – einfacher ist das aber nicht.

Was ist der beliebteste Fehler?
Klarer Spitzenreiter in der Fehlerhitparade ist ein Vorzeichenfehler beim Ablesen der Parameter p und q; insbesondere, wenn man es eilig hat.

In der Gleichung

FORMEL

ist

FORMEL

und damit z. B.

FORMEL