Addition von Brüchen: Die Suche nach dem Hauptnenner

Die Theorie ist recht einfach.

Gleichnamige Brüche

Zwei Brüche mit dem gleichen Nenner werden addiert indem man die Zähler addiert.

Ungleichnamige Brüche

Ungleichnamige Brüche werden im ersten Schritt gleichnamig gemacht. Das heißt, sie werden durch Erweitern mit geeigneten Faktoren auf einen gemeinsamen Hauptnenner gebracht.

In der Praxis sieht das Ganze natürlich meist etwas unersprießlicher aus. Statt der strukturlosen a, b, c, d sieht man sich mit unhandlichen Termen in Zähler und Nenner konfrontiert.

Für die Bestimmung des Hauptnenners, und damit der Erweiterungsfaktoren, gibt es dann zwei Strategien:

Mit Gewalt

Man wählt als Hauptnenner das Produkt der Nenner der zu addierenden Brüche. Das hat den Vorteil, wenig nachdenken , den Nachteil, viel rechnen zu müssen.

Mit Grips

Man versucht den Hauptnenner (und damit die Erweiterungsfaktoren) möglichst klein zu wählen.

1. Dazu faktorisiert man die einzelnen Nenner so weit wie möglich. Jeder einzelne Nenner wird als Produkt nicht weiter zerlegbarer irreduzibler Faktoren geschrieben. Da bedeutet insbesondere bei Zahlen die Zerlegung in Primfaktoren.
2. Als Hauptnenner wählt man das Produkt der irreduziblen Faktoren der Einzelnenner, wobei jeder irreduzible Faktor mit seiner höchsten Potenz berücksichtigt wird.

Beispiele für die Wahl des Hauptnenners

Seien Sie nett zu sich, wählen Sie den Hauptnenner so klein wie Ihnen möglich. Prinzipiell falsch ist aber auch die gewaltsame Methode Hauptnenner = Produkt der Einzelnenner nicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie sich in der Folge mit den unhandlichen Nennern und den zugehörigen Erweiterungsfaktoren verrechnen ist aber hoch. Zumal Sie das ganze Zeug zum Schluss durch Kürzen wieder übersichtlich klein rechnen sollten.

Aufgaben

Einige Aufgaben, mit denen Sie Ihre Strategie üben können.