Addition von Brüchen: Die Suche nach dem Hauptnenner

Die Theorie ist recht einfach.

Gleichnamige Brüche
Zwei Brüche mit dem gleichen Nenner werden addiert indem man die Zähler addiert.

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Ungleichnamige Brüche
Ungleichnamige Brüche werden im ersten Schritt gleichnamig gemacht. Das heißt, sie werden durch Erweitern mit geeigneten Faktoren auf einen gemeinsamen Hauptnenner gebracht.

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In der Praxis sieht das Ganze natürlich meist etwas unersprießlicher aus. Statt der strukturlosen a, b, c, d sieht man sich mit unhandlichen Termen in Zähler und Nenner konfrontiert.

Für die Bestimmung des Hauptnenners, und damit der Erweiterungsfaktoren, gibt es dann zwei Strategien:

Mit Gewalt
Man wählt als Hauptnenner das Produkt der Nenner der zu addierenden Brüche. Das hat den Vorteil, wenig nachdenken , den Nachteil, viel rechnen zu müssen.
Mit Grips
Man versucht den Hauptnenner (und damit die Erweiterungsfaktoren) möglichst klein zu wählen.
  1. Dazu faktorisiert man die einzelnen Nenner so weit wie möglich. Jeder einzelne Nenner wird als Produkt nicht weiter zerlegbarer irreduzibler Faktoren geschrieben. Da bedeutet insbesondere bei Zahlen die Zerlegung in Primfaktoren.
  2. Als Hauptnenner wählt man das Produkt der irreduziblen Faktoren der Einzelnenner, wobei jeder irreduzible Faktor mit seiner höchsten Potenz berücksichtigt wird.

Beispiele für die Wahl des Hauptnenners

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Seien Sie nett zu sich, wählen Sie den Hauptnenner so klein wie Ihnen möglich. Prinzipiell falsch ist aber auch die gewaltsame Methode Hauptnenner = Produkt der Einzelnenner nicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie sich in der Folge mit den unhandlichen Nennern und den zugehörigen Erweiterungsfaktoren verrechnen ist aber hoch. Zumal Sie das ganze Zeug zum Schluss durch Kürzen wieder übersichtlich klein rechnen sollten.

Aufgaben

Einige Aufgaben, mit denen Sie Ihre Strategie üben können.

Addieren Sie die Brüche:

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Primfaktorzerlegung der Nenner

Lösung:

Wir wählen die zweite Strategie und zerlegen die einzelnen Nenner in ihre Primfaktoren

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Wahl des kleinstmöglichen Hauptnenners 23 32 5 .

Erweitern auf den Hauptnenner

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Addition der gleichnamigen Brüche

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Das hat keinen Spass gemacht, war aber noch das kleinere Übel verglichen mit dem Hauptnenner 12960 der ersten Strategie.

Addieren Sie die Brüche:

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Beide Summen in den Nennern lassen sich mit binomischen Formeln faktorisieren

Lösung:

Wir wählen die zweite Strategie und faktorisieren die Summen in den Nennern mit Hilfe der binomischen Formeln

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Wahl des kleinstmöglichen Hauptnenners u (u + 1)2 (u - 1)

Erweitern auf den Hauptnenner

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Addition der gleichnamigen Brüche

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Schweren Herzen die schönen, aber leider nutzlosen, Produkte im Zähler ausmultiplizieren und nach Potenzen von u ordnen

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Addieren Sie die Brüche:

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Worin unterscheiden sich (a - b) und (b - a) ?

Lösung:

Wir wählen wieder die zweite Strategie und bemerken, dass sich der Faktor (b – a) im Nenner des zweiten Bruchs und der Faktor (a – b) im Nenner des dritten Bruchs nur um das Vorzeichen unterscheiden. Bei der Bestimmung eines möglichst kleinen Nenners muss ich also nur einen der beiden Faktoren berücksichtigen.

Wahl des Hauptnenners: a (a – b) x

Erweitern auf den Hauptnenner

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Addition der gleichnamigen Brüche

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