Integrale in der Physik

Solche Summationen kommen in der Physik häufig vor, da auch dort, wie bei der Flächenberechnung, die sehr kleinen Beiträge relativ leicht zu bestimmen sind.

Konkret: Zurückgelegte Strecke berechnen

Einfacher Fall: Konstante Geschwindigkeit

Beginnen wir mit dem (nicht gefragten) einfachen Fall konstanter Geschwindigkeit:

Bei konstanter Geschwindigkeit v₀ legt der Massepunkt in einem Zeitintervall der Dauer die Strecke

zurück.

Summe: Geschwindigkeit auf kurzen Zeitintervallen näherungsweise konstant

Bei zeitabhängiger Geschwindigkeit verfahren wir nach der Methode “teile und herrsche”. Wir zerlegen das Zeitintervall so in kleine Teilintervalle

dass die Geschwindigkeit auf den Teilintervallen näherungsweise den konstanten Wert v_i hat.

In dieser Näherung erhalten wir die zurückgelegte Strecke als Summe

Dabei steht für die Dauer des kleinen Zeitintervalls.

Grenzwert: Die Näherung wird exakt

Im Grenzwert immer kürzerer Teilintervalle, auf denen die Geschwindigkeit dann “wirklich”, und nicht nur halbwegs, konstant ist, erhalten wir den zurückgelegten Weg bei zeitabhängiger Geschwindigkeit

Allgemein: Änderungsraten summieren

Diese Vorgehensweise lässt sich auf eine beliebige zeitabhängige Größe G übertragen.

Wir kennen die Änderungsrate g von G und fragen nach der Änderung der Größe G in dem Zeitintervall von t₁ bis t₂.

Einfacher Fall: Konstante Änderungsrate

Bei konstanter Änderungsrate erhalten wir die Änderung der Größe durch Multiplikation der Änderungsrate mit der Länge des Zeitintervalls

Summe: Änderungsrate auf kurzen Zeitintervallen näherungsweise konstant

Bei zeitabhängiger Änderungsrate zerlegen wir das Zeitintervall in kleine Teilintervalle, auf denen die Änderungsrate näherungsweise konstant ist und erhalten

Grenzwert: Die Näherung wird exakt

Im Grenzwert immer kürzerer Teilintervalle erhalten wir für die Änderung von G im Zeitintervall

Stark verkürzt, aber hoffentlich verständlich: Die Differenz von Endwert und Anfangswert der Größe erhalte ich durch Aufsummieren / Aufintegrieren ihrer Änderungen in der Zeit dazwischen.

Im Bild sehen Sie den Verlauf der Größe G und ihrer Änderungsrate g .
Das Bild ist einen zweiten Blick wert:

Aufgabe:

Bringen Sie für die beiden eingezeichneten Zeiten t₁ und t₂

• G(t₂ ) - G(t₁) mit einer Streckenlänge
• die Summe der Änderungen im Zeitintervall

  

  mit einem Flächeninhalt in Verbindung.

Achten Sie auf das Vorzeichen der beiden beiden Größen. Beide Größen sind negativ, Streckenlängen und Flächeninhalte immer positiv.

Antwort:

Das Bild liefert die Anwort – und wirft die nächste Fragen auf: Warum braucht man die Beträge?

• Die Änderungsrate g ist in dem betrachteten Zeitintervall immer negativ.
• Die Funktion G fällt deshalb in dem gesamten betrachteten Zeitintervall, die Differenz von Endwert und Anfangswert ist kleiner Null.
• Also ist die positive Streckenlängen gleich dem Betrag der Differenz, nicht gleich der Differenz selbst.

Gleiches gilt für das Integral als gewichtete Flächeninhalt. Gewichtet bedeutet nämlich, das Flächen unterhalb der t-Achse negativ zählen.

Spätestens jetzt versteht man, warum es sinnvoll war, das Integral als gewichteten Flächeninhalt zu definieren. (Auch wenn es die Flächenberechnung unter Umständen umständlicher macht.) Nur deshalb stimmt nämlich der obige, physikalisch so gut verständliche, Zusammenhang zwischen Integral und Änderungsrate.

Analog: Dichten integrieren

Frage:

Wie groß ist die Ladung eines geraden Drahtes der Länge l mit bekannter (Linien-)Ladungsdichte ? Die 1-dimensionale Ortskoordinate x übernimmt die Rolle der Zeit t

Antwort:

Einfacher Fall: Homogene Ladungsdichte

Bei homogener, das heißt konstanter, Ladungsdichte ist die Gesamtladung Q

Summe: Ladungsdichte auf kurzen Intervallen näherungsweise konstant

Bei einer inhomogenen, ortsabhängigen Ladungsdichte unterteilen wir den Draht in kleine Segmente, auf denen die Ladungsdichte näherungsweise konstant ist.

Grenzwert: Die Näherung wird exakt

Im Grenzwert immer kürzerer Intervalle wird die Näherung exakt und die Summe geht in das Integral über.