Stetige Funktionen: Konzept

Kleine Ursachen – kleine Wirkungen

Eine Funktion heißt stetig , wenn (sehr) kleine Änderungen der unabhängigen Variablen auch nur (sehr) kleine Änderungen des Funktionswertes bewirken.

Stetigkeit ist zunächst eine lokale Eigenschaft, die man in einer kleinen Umgebung jeder Stelle untersuchen muss. Eine Funktion als Ganze ist stetig, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Nicht ganz präzis, aber anschaulich und für die meisten Fälle ausreichend: Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Graph ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann.

Stetige Funktionen in Anwendungen

Ein Ingenieur versucht für eine direkt kontrollierbare Größe x (die Stellgröße) einen Wert (den Arbeitspunkt) so einzustellen, dass eine davon abhängige Größe y (die Zielgröße) einen vorgegebenen Wert annimmt. Unvermeidbare kleine Einstellungenauigkeiten (Spiel) sollen dabei nur zu kleinen, tolerablen Abweichungen in der Zielgröße führen.
Der Zusammenhang zwischen Kontrollgröße und Zielgröße soll, in obigem Sinne, stetig sein.
Ein nicht mehr ganz taufrischer Physiker bestimmt die Temperatur indem er die Länge der Quecksilbersäule eines Thermometers abliest. Er erwartet, dass kleine Ungenauigkeiten der Messgröße (Länge) nur zu kleinen Abweichungen der physikalischen Größe (Temperatur) führen. Das heißt, er erwartet einen stetigen Zusammenhang.
Der Benutzer eines Taschenrechners erwartet, eine gute Näherung von Pi Quadrat zu erhalten, obwohl der Taschenrechner Pi selbst nur näherungsweise kennt.
Mit anderen Worten, er erwartet, dass die Quadratfunktion stetig ist: Wenn 2 Zahlen nahe beieinander liegen, dann auch ihre Quadrate.

Unstetige Funktionen in Anwendungen

Damit Sie nicht denken, in den Anwendungen sei alles stetig: Wir kennen durchaus auch unstetige Zusammenhänge, insbesondere sprunghafte Änderungen.

Einschaltvorgänge (Es werde Licht), bei denen sich sprunghaft zum Beispiel die Lichtstärke ändert. (Schlagartig zumindest auf der Zeitskala, auf der man das Einschalten von Licht üblicherweise betrachtet.)
Die Höhe des Briefportos in Abhängigkeit vom Gewicht.