Basen
Nehmen wir uns einen Satz von Vektoren
Stellen sich zwei Fragen:
- Lässt sich jeder Vektor als Linearkombination der
\( \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots , \vec{v}_n \) erhalten? Lassen sich also immer passende reelle Zahlen\( \alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n \) finden? - Sind diese Zahlen
\(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n\) eindeutig durch\(\vec{u}\) und\(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots , \vec{v}_n\) bestimmt?
Die Antwort auf beide Fragen lautet ja, wenn die
Basis eines Vektorraums
Die Vektoren
Die reellen Zahlen
Die Vektoren
(Die Bezeichnungen sind in der Literatur nicht eindeutig. Man muss also im Zweifelsfall genau hinsehen, was gemeint ist: ein Vektor oder eine Zahl?)
Existenz und Eindeutigkeit
Eine weitere Frage haben wir bisher noch gar nicht gestellt: Gibt es überhaupt Basen? Und wenn ja, wieviele?
Die Antwort der Mathematiker ist beruhigend — falls wir als Physiker denn überhaupt in Sorge gewesen sind: Es gibt für jeden Vektorraum nicht nur eine, sondern sogar viele Basen.
- Im Prinzip, wenn es also um die eindeutige Darstellbarkeit eines jeden Vektors geht, sind alle diese Basen gleichberechtigt.
- Bei konkreten Berechnungen kann man sich durch geschickte Wahl der Basis allerdings die Rechenarbeit erleichtern. Das ist aber in diesem Kurs Stelle nicht unser Thema.
Standardbasis des \(\color{#005A9C}{R^2}\)
Betrachten wir als einfachstes Beispiel den Vektorraum
Die beiden Paare
Frage:
Die Bezeichnung Standardbasis des
Wir reden von einem ganz konkreten Vektorraum, nicht von dem allgemeinen, abstrakten Vektorraum.
Antwort:
Der Widerspruch zwischen Auszeichnung einerseits und Gleichberechtigung andererseits ist nur scheinbar. Die Auszeichnung der Standardbasis ergibt sich natürlich nicht aus der Vektorraumstruktur, sondern aus der konkreten Bedeutung der Vektoren als geordnete 2-Tupel reeller Zahlen.
Der konkrete Vektorraum
Diese zusätzliche Produktstruktur, nicht die Vektorraumstruktur, ermöglicht es, Basen zu unterscheiden.
Bei den beiden Basisvektoren der Standardbasis des
Merkenswert ist: Zusätzliche Strukturen erlauben es daran angepasste Basen auszuzeichnen. In diesem Sinne zeichnet eine metrische Struktur — die es erlaubt von Längen und Winkeln (und manchmal auch von Taxifahrern) zu reden — orthonormale Basen aus.
Auf Produktstrukturen und Metriken werden wir — auch im Zusammenhang mit der Raumzeit — zurückkommen.
Lessons learned
- Jeder Vektor eines Vektorraums lässt sich eindeutig als Linearkombination der Vektoren einer Basis schreiben.
- Alle Basen eines Vektorraums sind gleichberechtigt.