Integrieren ist schwer

Integrieren ist in einem wohldefinierten Sinne schwer, viel schwerer als Differenzieren..

Die Stammfunktion der Potenzfunktion ist nicht immer eine Potenz

Betrachten wir zur Einstimmung ein vertrautes Beispiel, die Stammfunktionen der Potenzfunktionen xⁿ:

Im zweiten Fall ist die Stammfunktion einer Potenzfunktion etwas deutlich komplizierteres, die Logarithmusfunktion. Aber immerhin noch etwas, das wir bereits kennen.

Die Stammfunktion einer elementaren Funktion ist nicht immer elementar

Beim Integrieren anderer elementarer Funktionen können aber neue Funktionen entstehen, die sich nicht so einfach mit bereits bekannten Funktionen hinschreiben lassen.

Die Funktionen werden erst als Stammfunktion, als “Integral von …”, definiert.
(Manche Mathematiker führen auch schon die Logarithmusfunktion als Stammfunktion von 1/x ein.)

Beispiele gefällig?

Fresnel Integral

Vollständiges elliptisches Integral 1. Art

Diese Funktionen sind keine Exponate aus dem mathematischen Kuriositätenkabinett, einzig gesammelt um harmlose Anwender zu verschrecken, sondern treten in realen Anwendungen auf:

Das Fresnel Integral spielt u. a. in der Optik eine Rolle.
Das elliptische Integral tritt zum Beispiel bei der Berechnung der Schwingungsdauer eines Pendels mit großen Ausschlägen auf.

Fazit: Sie dürfen keine übersteigerten Erwartungen an die einfache Lösbarkeit von Integrationsaufgaben haben. Im Zweifelsfall lernen Sie neue Funktionen (Freunde) kennen.